M.G. Piacentini Cattaneo:
Matematica Discreta e Applicazioni - Zanichelli
Obiettivi Formativi
Acquisizione delle conoscenze fondamentali di aritmetica, combinatoria, teoria dei grafi e logica. Capacita' di sviluppare ragionamenti e dimostrazioni in modo rigoroso.
Prerequisiti
Sono sufficienti le nozioni base di matematica e logica, che fanno parte dei programmi di ogni scuola media superiore.
Metodi Didattici
Lezioni frontali
Altre Informazioni
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Modalità di verifica apprendimento
Esame scritto e orale.
L'esame scritto prevede la verifica della capacita' di applicare le nozioni acquisite durante il corso, nella soluzione di esercizi. Nell'esame orale lo studente dovra' mostrare di aver acquisito i concetti e compreso le dimostrazioni svolte a lezione.
Esame scritto: è un compito scritto con esercizi sugli argomenti svolti durante il corso. Il voto è in trentesimi e l'esame scritto è superato con una votazione di almeno 18/30.
L'esame scritto può essere sostenuta medinte le prove, o prove parziali, che si terranno a febbraio e alla fine del corso (fine maggio). Gli studenti che avranno ottenuto l'esonero tramite le prove parziali, potranno sostenere l'esame orale durante uno qualsiasi degli appelli delle sessioni estiva, autunnale o invernale. La validita' dell'esonero dalla prova scritta e' valida solo una volta; nel caso in cui lo studente non superasse la prova orale, dovra' sostenere di nuovo la prova scritta.
Esame orale: si svolge nello stesso appello dello scritto ed è una interrogazione sulla teoria svolta durante il corso.
Durante la prova orale puo' essere anche richiesto lo svolgimento di alcuni semplici esercizi, al fine di verificare la corretta applicazione della teoria.
Programma del corso
Elementi di teoria degli insiemi; operazioni fra insiemi. Funzioni e relazioni. Relazioni di ordine. Relazioni di equivalenza. Induzione. Successioni definite per ricorrenza. Numeri interi: massimo comun divisore, algoritmo euclideo,formula di Bezout. Teoria della divisibilita'. Numeri primi. Equazoni diofantee. Calcolo combinatorio elementare: disposizioni, combinazioni, permutazioni; principio di inclusione-esclusione. Aritmetica modulare; teorema di Fermat, funzione di Eulero, teorema cinese dei resti. Sistema crittografico RSA. Criteri di irriduciblita' per polinomi a coefficienti interi e razionali. Strutture algebriche: gruppi, anelli e campi. Gruppo simmetrico. Campi finiti. Relazioni di ordine; insiemi parzialmente ordinati e reticoli. Algebre di Boole. Teoria dei grafi: cammini, alberi, grafi orientati e non orientati. Grafi euleriani e grafi hamiltoniani. Grafi planari. Grafi bipartiti. Colorabilita' di grafi. Applicazioni. Teorema di Hall e teorema di Koenig.Connettivita'; teorema di Menger. Reti e flussi. Elementi di logica matematica: il linguaggio della logica proposizionale, l’algoritmo di Davis- Putnam, linguaggi della logica dei predicati, skolemizzazione, deduzioni per via automatica.